Исследовать функцию на экстремум y = x^3 / (x+1) ^2

1. Область определения:

x + 1 ≠ 0;

x ≠ - 1;

x ∈ (-∞; - 1) ∪ (-1; ∞).

2. Критические точки:

y = x^3 / (x + 1) ^2;

y' = (3x^2 * (x + 1) ^2 - x^3 * 2 (x + 1)) / (x + 1) ^4;

y' = (3x^2 (x + 1) - 2x^3) / (x + 1) ^3;

y' = (3x^3 + 3x^2 - 2x^3) / (x + 1) ^3;

y' = (x^3 + 3x^2) / (x + 1) ^3;

y' = x^2 (x + 3) / (x + 1) ^3;

y' = 0;

x^2 (x + 3) = 0;

[x^2 = 0;

[x + 3 = 0;

[x = 0;

[x = - 3.

3. Промежутки монотонности функции:

a) x ∈ (-∞; - 3), y' > 0 - функция возрастает; b) x ∈ (-3; - 1), y' <0 - функция убывает; c) x ∈ (-1; 0), y'> 0 - функция возрастает; d) x ∈ (0; ∞), y' > 0 - функция возрастает.

4. Единственная точка экстремума функции:

x = - 3 - точка максимума, т. к меняется монотонность от возрастания к убыванию.

Ответ. Точка максимума: - 3.