Начиная с числа 1, записали подряд все натуральные числа до 1111 включительно и получили запись натурального числа M. Найдите остаток, ко - торый получится при делении числа M на 9.

По теореме об остатках при делении числа на 9 остаток от деления числа на 9 равен остатку от деления суммы цифр этого числа на 9.

Вычислим сумму цифр числа М. Цифры числа М образуют арифметическую прогрессию, по формуле суммы арифметической прогрессии:

S = (1 + 1111) * 1111 / 2 = 1112 * 1111 / 2 = 556 * 1111 = 617716.

Вычислим сумму цифр числа 617716:

6 + 1 + 7 + 7 + 1 + 6 = 28;

28 / 9 = 3 ост (1).

Следовательно, остаток от деления числа М на 9 равен 1.

Ответ: 1.