Дано 6 чисел: 1,2,3,4,5,6. Разрешается к любым из двох чисел одновременно добавить по 1. Можно ли после нескольких таких действий сделать все числа равными?

Решение.

Первоначально сумма всех чисел равна:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Сумма нечетная. Каждый раз, когда к двум числам мы прибавляем по 1, сумма увеличивается на 2, а значит она всегда остается нечетной.

Если когда-нибудь все числа станут равными (допустим, равными х), сумма будет равна 6 х, то есть будет делиться на 6, а значит - будет четной. Что невозможно, потому что мы доказали, что сумма всегда остается нечетной. А значит, все числа нельзя сделать равными.

Ответ: нет.