Корень 5-4x-x^2 найти max и min

Рассмотрим алгебраическое выражение √ (5 - 4 * x - x²), которое зависит от переменной х. Учитывая такую зависимость будем обозначать его через у (х) и рассматривать как функцию. По требованию задания, найдём максимальное и минимальное значения функции у (х). Прежде всего, заметим, что функция у (х) определена для таких значений х, для которых справедливо неравенство 5 - 4 * x - x² ≥ 0. Решим это неравенство, переписывая его в виде x² + 4 * х - 5 ≤ 0. Так как левая часть последнего неравенства является квадратным трёхчленом и квадратное уравнение x² + 4 * х - 5 = 0 имеет два корня х = 1 и х = - 5, то это неравенство можно представить в виде (х - 1) * (х + 5) ≤ 0. Решая это неравенство, например, методом интервалов, получим множество допустимых значений функции у (х) = √ (5 - 4 * x - x²). Оно имеет вид: [-5; 1]. Для того, чтобы найти максимальное и минимальное значение функции у (х) применим дифференциальное исчисление. Найдём y' (x) = (√ (5 - 4 * x - x²)) ' = ½ * (5 - 4 * x - x²) ^{½ - 1} * (5 - 4 * x - x²) ' = - 2 * (x + 2) / (2 * √ (5 - 4 * x - x²)) = - (x + 2) / √ (5 - 4 * x - x²). Приравнивая к нулю y' (x), найдём одну стационарную точку х = - 2. Ясно, что при х = - 5 и при х = 1 производная не существует, то есть, критическими являются точки х = - 5 и х = 1. Анализ знака производной при переходе через точку х = - 2 показывает, что в интервале (-5; - 2) производная положительна, а в интервале (-2; 1) - отрицательна. Следовательно, функция у (х) принимает максимального значения. Очевидно, что на обеих границах отрезка [-5; 1] функция обращается в 0 и это значение является минимальным значением данного выражения, а его максимальное значение равно у (-2) = √ (5 - 4 * (-2) - (-2) ²) = √ (5 + 8 - 4) = √ (9) = 3.

Ответ: 3 и 0.