В футбольном турнире, где каждая команда встречалась с каждой один раз, играли 16 команд. За победу давали три очка, за ничью - одно, за поражение - ноль. После окончания турнира выяснилось, что каждая команда выиграла хотя бы треть своих матчей и проиграла хотя бы треть своих матчей. Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.

Всего, каждая команда сыграла 15 матчей. Выиграв все, могла бы набрать 45 очков. Так как по крайней мере треть - 5 матчей она проиграла, то максимальное количество очков, набранных командой, может быть 45 - 5 х 3 = 30.

Минимальное количество очков могла получить команда, которая выиграла 5 матчей - это треть от всех сыгранных, а все остальные проиграла равно 5 х 3 = 15.

Получается, что максимальное количество вариантов очков, которые могли набрать команды, 30 - 15 = 15. А команд было 16, значит, обязательно, какие-то две команды набрали поровну очков.