Cos x+sin x+sin 2x+1=0

Представим sin2x как 2sinxсosx, а единицу как 1 = sin^2x + cos^2x.

Получается уравнение:

сosx + sinx + 2sinxсosx + sin^2x + cos^2x = 0.

Выражение (sin^2x + 2sinxсosx + cos^2x) можно свернуть по формуле квадрата суммы (а + b) ^2 = a^2 + 2ab + b^2.

Получается уравнение:

сosx + sinx + (sinx + сosx) ^2 = 0.

Введем новую переменную, пусть sinx + сosx = а.

а + а^2 = 0.

а (1 + а) = 0.

Отсюда а = 0;

или 1 + а = 0; а = - 1.

Вернемся к замене sinx + сosx = а.

1) а = 0;

sinx + сosx = 0. Делим уравнение на сosx, ОДЗ: сosx не равен 0, х не равен П/2 + Пn.

tgx + 1 = 0;

tgx = - 1;

х = - П/4 + Пn, n - целое число.

2) sinx + сosx = - 1. Делим на сosx.

tgx + 1 = - 1;

tgx = - 2;

х = arctg (-2) + Пn, n - целое число.