Найдите сумму всех натуральных решений неравенства (x^2+x+2) / 5-x>или равно 1

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

(x² + x + 2) / (5 - x) ≥ 1.

(x² + x + 2) / (5 - x) - 1 ≥ 0;

(x² + x + 2 - 5 + х) / (5 - x) ≥ 0;

(x² + 2x - 3) / (5 - x) ≥ 0.

Разложим числитель по формуле ax^2 + bx + c = (x - x₁) (x - x₂), где x₁ и x₂ - это корни квадратного трехчлена.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = - 2; х₁ * х₂ = - 3.

х₁ = - 3 и х₂ = 1.

Значит, (x² + 2x - 3) = (х + 3) (х - 1).

(х + 3) (х - 1) / (5 - x) ≥ 0.

Решим неравенство методом интервалов:

Знаменатель имеет отрицательный коэффициент, умножим неравенство на (-1), знак перевернется.

(х + 3) (х - 1) / (х - 5) ≤ 0.

Найдем корни неравенства:

х + 3 = 0; х = - 3.

х - 1 = 0; х = 1.

х - 5 = 0; х = 5 (не входит в промежуток, это корень знаменателя).

Отмечаем на числовой прямой точки - 3, 1 и 5, выделяем дугами интервалы, расставляем знаки каждого интервала, начиная в крайнего правого (+), а потом чередуя плюс и минус.

(-) - 3 (+) 1 (-) 5 (+).

Так как знак неравенства ≤ 0, то ответом будут интервалы, где стоит знак (-).

Решением неравенства будут промежутки (-∞; - 3] и [1; 5).

Натуральные решения в этих промежутках - это только 1, 2, 3 и 4.

Найдем их сумму: 1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Ответ: сумма всех натуральных решений равна 10.