Найдите четыре числа, образующих арифметическую прогрессию и обладающих таким свойством: если из второго числа вычесть 2, а к четвёртому прибавить 14, то будет получена геометрическая прогрессия.

Пусть a - первый член арифметической прогрессии с разностью d.

Тогда a + d - её второй член, a + 2d - третий и a + 3d - четвёртый.

Составим соотношения между членами геометрической прогрессии, где

a - первый член, (a + d - 2) второй, (a + 2d) третий, и (a + 3d + 14) - четвёртый.

(a + d - 2) / a = (a + 3d + 14) / (a + 2d)

Избавимся от дробей, воспользовавшись свойством пропорции (произведение крайних членов пропорции приравняем произведению средних)

a (a + 3d + 14) = (a + d - 2) (a + 2d)

Раскроем скобки.

a^2 + 3ad + 14a = a^2 + ad - 2a + 2d^2 - 4d + 2ad

Приведём подобные.

16a - 2d^2 + 4d = 0

d^2 - 2d - 8a = 0

Найдём, при каком значении переменной a квадратное уравнение имеет один корень.

D = 4 + 4 * 8a = 0

4 = - 4 * 8a

1 = - 8a

a = - 1/8

d^2 - 2d + 1 = 0

d = 1

Получен числовой ряд (арифметическая прогрессия с разностью 1) : - 1/8; 1 - 1/8; 2 - 1/8; 3 - 1/8.

Ответ: - 1/8; 7/8; 15/8; 23/8.