Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 21. Найдите эти числа, если известно, что, уменьшив второе из них на 1 и увеличив третье на 1, мы получим геометрическую прогрессию.

Допустим, что первый член данной прогрессии равен а и разность прогрессии равна х.

По условию задачи получаем:

а + (а + х) + (а + 2 * х) = 21,

3 * а + 3 * х = 21,

а + х = 7,

а = 7 - х.

Если второе число уменьшить на 1, то оно будет равно:

а + х - 1 = 7 - х + х - 1 = 6.

Если третье число увеличить на 1, то оно будет равно:

а + 2 * х + 1 = 7 - х + 2 * х + 1 = 8 + х.

Так как полученные числа составляют геометрическую прогрессию, то получаем следующее уравнение:

6 / (7 - х) = (8 + х) / 6,

36 = 56 - 8 * х + 7 * х - х²,

-х² - х + 20 = 0.

Дискриминант данного квадратного уравнения равен:

(-1) ² - 4 * (-1) * 20 = 81.

Тогда х = (1 + 9) / -2 = - 5 и х = (1 - 9) / -2 = 4.

Если х = - 5, то а = 7 - (-5) = 12, а другие числа равны:

12 - 5 = 7,

7 * 5 = 2.

Получаем, что числа равны 12 7 и 2.

Если х = 4, то а = 7 - 4 = 3, а другие числа равны:

3 + 4 = 7,

7 + 4 = 11,

Получаем, что числа равны:

3, 7 и 11.