Найти сумму корней уравнения (4x+7) ² (2x+3) (x+2) = 34

(4x + 7) ^2 (2x + 3) (x + 2) = 34.

Раскроем скобки частично:

(16x^2 + 56x + 49) (2x^2 + 7x + 6) - 34 = 0.

(8 (2x^2 + 57x) + 49) (2x^2 + 7x + 6) - 34 = 0.

Произведем замену переменных, пусть 2x^2 + 7x = а, тогда получится (8 а + 49) (а + 6) - 34 = 0.

Раскроем скобки: 8 а^2 + 97 а + 260 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 8; b = 97; c = 260;

D = b^2 - 4ac; D = 97^2 - 4 * 8 * 260 = 9409 - 8320 = 1089 (√D = 33);

x = (-b ± √D) / 2a;

a₁ = (-97 - 33) / 16 = - 130/16 = - 8,125;

a₂ = (-97 + 33) / 16 = - 84/16 = - 4.

Возвращаемся к замене 2x^2 + 7x = а.

1) 2x^2 + 7x = - 8,125.

2x^2 + 7x + 8,125 = 0.

D = 49 - 65 = - 16 (корней нет).

2) 2x^2 + 7x = - 4;

2x^2 + 7x + 4 = 0.

по теореме Виета x₁ + x₂ = (-b) / a = - 7/2 = - 3,5.

Ответ: сумма корней уравнения равна (-3,5).