Докажите неравенство a^4+b^4> a^3b+ab^3

Докажем неравенство:

a^4 + b^4 > a^3 * b + a * b^3.

Перенесем слагаемые из правой части неравенства в левую:

a^4 + b^4 - a^3 * b - a * b^3 > 0;

Выделим общий множитель у двух пар слагаемых:

a^3 * (a - b) - b^3 * (a - b) > 0;

(a - b) * (a^3 - b^3) > 0;

Раскладываем разность кубов:

(a - b) * (a - b) * (a^2 + a * b + b^2) > 0;

(a - b) ^2 * (a^2 + a * b + b^2) > 0;

В левой части получили произведение квадрата одного числа и квадратного трехчлена.

Первый множитель всегда неотрицателен. Второй же множитель в своем выражении имеет помимо суммы квадратов чисел еще и их произведение, которое в случае, если a и b будут одного знака, даст доказательство неравенства.