Из картона прямоугольной формы длиной 32 см и шириной 20 см по углам вырезали равные квадраты, из остатка сложили коробку (форма прямоугольного параллелепипеда). Какой должна быть длина стороны вырезанного квадрата, чтобы объем коробки получился наибольшим? нужен математический способ, метод подбора не интересует!

V=abc.

Пусть х - сторона квадрата, тогда:

а=20-2 х,

b=32-2 х,

с=х.

V = (20-2 х) (32-2 х) х.

Рассмотрим функцию у = (20-2 х) (32-2 х) х.

(20-2 х) (32-2 х) х = (640-64 х-40 х+4 х^2) x=4x^3-104x^2+640x.

y=4x^3-104x^2+640x.

у'=12x^2-208x+640.

у'=0: 12x^2-208x+640=0.

3x^2-52x+160=0.

D=52^2-4*3*160=784=28^2,

x1 = (52-28) / 6=4,

x2 = (52+28) / 6=40/3=13 целых 1/3.

у' (1) = 12-208+640=444>0, значит:

при х принадлежит (0; 4) функция возрастает;

при х принадлежит (4; 13 целых 1/3) функция убывает;

при х принадлежит (13 целых 1/3; 20) функция возрастает.

х=4 - точка максимума.

При х=4 функция достигает наибольшего значения. То есть, если сторона квадрата будет равна 4 см, объем коробки будет наибольшим.

Ответ: 4 см.