Из квадратного листа картона со стороной a вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольший?

Для решения этой задачи нам потребуется произвести следующие действия:

Обозначим сторону квадрата за х. Тогда площадь основания коробки будет равна S = (a - 2x) ², а объем коробки будет равен V = (a - 2x) ² * x = a² * x - 4 * a * x² + 4 * x³. Для того что бы найти максимум объема продифференцируем эту функцию по x, и получим 12 * x² - 8 * a * x + a². Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение относительно x: x1,2 = (8a / - (64a² - 48a²) ^{1 / 2}) / 24 = (8a / - 4a) / 24. Получим ответы: x1 = 1 / 6 * a, x2 = 1 / 2 * a. Очевидно, что при x=1/2*объем коробки равен 0, и равенство производной нулю в этой точке указывает на минимум функции объема. А x=1/6*a является точкой максимума функции объема.

Как результат проделанных действий получаем ответ к задаче: сторона вырезаемого по углам квадрата должна быть равна 1/6 части стороны исходного квадрата.