14. при делении чисел n и m на 7 получается соответственно остатки 5 и 6. Какой остаток получится при делении на 7 произведения mn. 13. 5^z + 5^-z = 7. 25^z+25^-z=?

n и m можно представить так:

n = 7 k + 5;

m = 7 t + 6;

где k и t некоторые целые числа.

Найдём произведение mn;

mn = (7 k + 5) (7 t + 6) = 49 kt + 7 (6 k + 5 t) + 30;

30 при делении с остатком на 7 имеет остаток 2.

30 = 7 * 4 + 2.

7 (7 k t + 6 k + 5 t + 4) + 2.

Таким образом при делении с остатком на 7 произведения mn имеет остаток 2.

5 ^z + 5 ^-z = 7. 25 ^z + 25 ^-z = ?

Возведём в квадрат обе части первого выражения:

(5 ^z + 5 ^-z) ² = 7 ²;

5 ^{2 z} + 2 * 5 ^z * 5 ^-z + 5 ⁻^{2 z} = 49;

25 ^z + 2 + 25 ^-z = 49;

25 ^z + 25 ^-z = 47.