при каких значениях параметра m и n вершина параболы у=х^2+mx+n находится в точке M (3; 8) ?

Координаты вершины М (х₀; у₀). Так как М (3; 8), то х₀ = 3, а у₀ = 8.

Координата х₀ находится по формуле х₀ = - b / (2a).

У функции у = х² + mx + n коэффициенты равны a = 1; b = m; c = n.

Подставляем в формулу х₀ = - b / (2a):

3 = - m/2; отсюда m = - 6.

Функция приобретает вид у = х² - 6x + n.

Так как у₀ = 8, подставляем в уравнение функции:

х² - 6x + n = 8; х² - 6x + n - 8 = 0.

D = (-6) ² - 4 * 1 * (n - 8) = 36 - 4n - 32 = 4 - 4n.

Дискриминант равен нулю (так как корень должен быть только один):

4 - 4n = 0; 4n = 4; n = 1.

Ответ: m = - 6; n = 1.