Решите уравнение 6sin²x + 4sinxcosx + 4cos²x = 3

Перенесем все значения в левую часть:

6sin²x + 4sinxcosx + 4cos²x = 3;

6sin²x + 4sinxcosx + 4cos²x - 3 = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрической функции:

1 = sin²x + cos²x;

6sin²x + 4sinxcosx + 4cos²x - 3 (sin²x + cos²x) = 0;

6sin²x + 4sinxcosx + 4cos²x - 3sin²x - 3cos²x = 0;

3sin²x + 4sinxcosx + cos²x = 0;

Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

3sin²x/cos²x + 4sinxcosx/cos²x + cos²x/cos²x = 0;

3tg²x + 4tgx + 1 = 0;

Выполним замену tgx = n:

3n² + 4n + 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (4) ² - 4 * 3 * 1 = 16 - 12 = 4;

D › 0, значит:

n1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 4 - √4) / 2 * 3 = ( - 4 - 2) / 6 = - 6 / 6 = - 1;

n2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 4 + √4) / 2 * 3 = ( - 4 + 2) / 6 = - 2 / 6 = - 1/3;

Тогда, если n1 = - 1, то:

tgx = - 1;

х = arctg ( - 1) + πn, n ∈ Z;

х = - arctg (1) + πn, n ∈ Z;

x1 = - π/4 + πn, n ∈ Z;

если n2 = - 1/3, то:

tgx = - 1/3;

х = arctg ( - 1/3) + πn, n ∈ Z;

х2 = - arctg (1/3) + πn, n ∈ Z;

Ответ: x1 = - π/4 + πn, n ∈ Z, х2 = - arctg (1/3) + πn, n ∈ Z.