Решите уравнение 6sin²x+2sin²2x=5

Воспользуемся основной формулой для тригонометрических функций

sin^2 (α) = 1 - cos^2 (α)

и формулой двойного угла для функции cos:

cos (2 * α) = 1 - 2 * sin^2 (α);

Проведем замену в заданном уравнении:

6 * sin^2 (x) = 3 * [1 - cos (2 * x) ] = 3 - 3 * cos (2 * x);

2 * sin^2 (2 * x) = 2 - 2 * cos^2 (2 * x);

Получаем квадратное уравнение для cos (2 * x):

3 - 3 * cos (2 * x) + 2 - 2 * cos^2 (2 * x) = 5;

2 * cos^2 (2 * x) + 3 * cos (2 * x) = 0

cos (2 * x) * [2 * cos (2 * x) + 3] = 0;

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

2 * cos (2 * x) + 3 = 0;

cos (2 * x) = - 1.5,

что не подходит, так как абсолютное значение функции cos не может быть больше 1.

cos (2 * x) = 0;

2 * x = π/2 + π * n;

x = π/4 + 1/2 * π * n.