2cos^2 х+7sinx-5=0 и укажите корни, удовлетворяющие условию cosх ≤0

Обратимся к следствию из основного тригонометрического тождества cos^2 (a) = 1 - sin^2 (a), тогда исходное уравнение будет иметь вид:

2 (1 - sin^2 (x)) + 7sin (x) - 5 = 0;

2sin^2 (x) - 7sin (x) + 3 = 0.

Произведем замену t = sin (x):

2t^2 - 7t + 3 = 0;

t12 = (7 + - √ (49 - 4 * 2 * 3) / 2 * 2 = (7 + - 5) / 4;

t1 = (7 - 5) / 4 = 1/2; t2 = (7 + 5) / 2 = 6.

Обратная замена:

sin (x) = 1/2.

Корни уравнения вида sin (x) = a определяет формула:

x = arcsin (a) + - 2 * π * n, где n натуральное число.

x = arcsin (1/2) + - 2 * π * n;

x = π/6 + - 2 * π * n.