Если в яблоке живет больше 11 червяков, оно называется плохим. Червяка называют тощим, если он съел не более пятой части яблока, в котором живет. Четверть всех яблок на дереве - плохие. Докажите, что не менее трети всех червяков - тощие

В плохом яблоке живёт больше 11 червяков.

Пусть это будет 12 червяков.

Всё яблоко это одна часть или 5 * 1/5.

Тощий червяк съедает меньше 1/5 части яблока, значит, жирный червяк съедает ≥ 1/5 часть яблока.

Но больше 1/5 части не может съесть, так как есть еще не менее 8 тощих червяков.

Значит, толстых червяков в яблоке не больше 4.

То есть, в одном яблоке не больше 4/12 = 1/3 жирных червяков и 8/12 = 2/3 тощих червяков.

И в четверти плохих яблок живёт 2/3 * ¼ = 2/12 = 1/6 тощих червяков.

В остальных яблоках находится меньше 11 червяков. Пусть это будет 10 червяков.

Из них так же 4 червяка толстые, а 10 - 4 = 6 тощие.

Значит, в оставшейся на дереве 1 - ¼ = ¾ части всех яблок находится 6/10 * ¾ = 18/40 = 9/20.

Итого, на всём дереве 1/6 + 9/20 = 37/60 ≈ 0,62 > 1/3.

Меньше 5 червяков в яблоке означает, что все червяки не тощие, значит, в яблоке должно быть хотя бы 5 червяков, тогда хотя бы один из них тощий.

Или 1/5 часть всех червяков оставшейся ¾ части яблок.

1/5 * ¾ = 3/20.

В этом случае количество всех тощих червяков 1/6 + 3/20 = 19/60 ≈ 0,32.

Эти 2 случая, когда в оставшейся части яблок меньше всего и больше всего тощих червяков.

Но во всех яблоках не может быть одинакового количества тощих червяков.

Значит, количество всех тощих червяков k находится в пределах:

19/60 < k < 37/60.