Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N - середина CD.

Пусть угол А = α, угол В = β.

По свойству биссектрисы параллелограмма, биссектриса углов параллелограмма отсекают от него равнобедренные треугольники.

Это можно доказать, рассмотрев трапецию BNDA, где сторона АВ параллельно DN.

Тогда угол N = 180º - ABN = 180º - β/2.

Угол BNC как смежный с BND равен 180º - (180º - β/2) = β/2.

Аналогично можно доказать, что угол AND = α/2.

Тогда, треугольники BCN и ADN равнобедренные.

Следовательно, ВС = СN, AD = DN.

Так как в параллелограмме ВС = AD, значит, СN = DN.

А значит N - середина CD.