Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x^2+4x+1 и y=4/x

Находим точки пересечения обеих кривых, для этого приравниваем их уравнения, получим:

-x² + 4 * x + 1 = 4 / x,

-x³ + 4 * x² + x - 4 = 0,

x³ - 4 * x² - x + 4 = 0.

Сгруппируем и выделим общий множитель, получим:

(x³ - 4 * x²) - (x - 4) = 0,

x² * (x - 4) - (x - 4) = 0,

(x² - 1) * (x - 4) = 0,

x² - 1 = 0,

x = - 1,

x = 1;

x - 4 = 0,

x = 4.

Исходя из построения, требуется вычислить площадь фигуры, расположенной в 1-й четверти, получим:

s = интеграл (от 1 до 4) (-x² + 4 * x + 1 - 4 / x) dx = - x³ / 3 + 2 * x² + x - 4 * ln |x| (от 1 до 4) = - 64 / 3 + 32 + 4 - 4 * ln 4 + 1 / 3 - 2 - 1 + 4 * ln 1 = 12 - 4 * ln 4 ед².

Ответ: s = 12 - 4 * ln 4 ед².