Упростите выражение cos2a/cosa-sin2a/sina

Приведение к общему знаменателю

Для удобства преобразований обозначим заданное тригонометрическое выражение через Z и приведем дроби к общему знаменателю:

Z = cos (2a) / cosa - sin (2a) / sina; Z = (sina * cos (2a)) / (sina * cosa) - (cosa * sin (2a)) / (cosa * sina); Z = (sina * cos (2a) - cosa * sin (2a)) / (sina * cosa). Формулы сложения основных тригонометрических функций

Выделяют следющие формулы для синуса, косинуса, тангенса и котангенса суммы и разности двух углов. Все формулы симметричны относительно двух углов, за исключением котангенса, для которого углы идут в обратном порядке:

sin (α + β) = sinα * cosβ + cosα * sinβ; (1) sin (α - β) = sinα * cosβ - cosα * sinβ; (2) cos (α + β) = cosα * cosβ - sinα * sinβ; (3) cos (α - β) = cosα * cosβ + sinα * sinβ; (4) tg (α + β) = (tgα + tgβ) / (1 - tgα * tgβ); (5) tg (α - β) = (tgα - tgβ) / (1 + tgα * tgβ); (6) ctg (α + β) = (ctgβ * ctgα - 1) / (ctgβ + ctgα); (7) ctg (α - β) = (ctgβ * ctgα + 1) / (ctgβ - ctgα). (8) Синус разности двух углов

Применим вторую формулу для синуса разности двух углов к числителю дроби:

Z = sin (a - 2a) / (sina * cosa); Z = sin (-a) / (sina * cosa).

Поскольку синус - нечетная функция: sin (-a) = - sina, то, изменив знак функции и сократив дробь, получим:

Z = - sina / (cosa * sina); Z = - 1/cosa; cos (2a) / cosa - sin (2a) / sina = - 1/cosa.

Ответ: - 1/cosa.

1. Для удобства преобразований обозначим выражение Z:

Z = cos (2a) / cosa - sin (2a) / sina.

2. Применим формулы двойных углов для тригонометрических функций синуса и косинуса к этому выражению:

sin (2x) = 2sinx * cosx;

cos (2x) = 2cos^2 (x) - 1;

Z = (2cos^2 (a) - 1) / cosa - 2sina * cosa / sina;

Z = 2cos^2 (a) / cosa - 1 / cosa - 2sina * cosa / sina.

3. Сократим дроби и приведем подобные члены:

Z = 2cosa - 1 / cosa - 2cosa;

Z = - 1 / cosa.

Ответ: - 1 / cosa.