Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, делит точкой касания гипотенузу на отрезки 12 и 5. Найдите радиус окружности!

Обозначим наш треугольник АВС с гипотенузой АВ и с катетами АС и СВ. Точки касания вписанной окружности К, Е, Р, так что точка К принадлежит АВ, а точки Е и Р катетам соответственно. Обозначим отрезок СЕ - "Х". По свойству отрезков касательных АЕ = АК = 12; РВ = КВ = 5, СЕ = СР = Х. Следовательно,

АС = АЕ + ЕС = 12 + Х;

СВ = СР + РВ = Х + 5;

АВ = 12 + 5 = 17.

Используя теорему Пифагора составим и решим уравнение:

АС² + СВ² = АВ²;

(12 + Х) ² + (Х + 5) ² = 17²;

144 + 24 Х + Х² + Х² + 10 Х + 25 = 289;

2 Х² + 34 Х - 120 = 0;

Х² + 17 Х - 60 = 0;

Д = 289 + 240 = 529;

Х₁ = (-17 + 23) / 2 = 3;

Х₂ = (-17 - 23) / 2 = - 20 - не удовлетворяет.

АС = 12 + 3 = 15;

СВ = 3 + 5 = 8.

Найдем радиус вписанной окружности

r = (AC + CB - AB) / 2 = (15 + 8 - 17) / 2 = 3.