Большая сторона трапеции равна 42 см. Вписанная в трапецию окружность делит одну из боковых сторон на отрезки 8 и 18 см. Найдите площадь трапеции.

Окружность точками касания делит:

большее основание на отрезки 18 см и (42 - 18) = 24 см; меньшее основание на отрезки 8 см и х см; другую боковую сторону на отрезки 24 см и х см.

Если проведем высоты трапеции, то они отрежут два прямоугольных треугольника. Рассмотрим тот, у которого известна гипотенуза (боковая сторона 8 + 18 = 26 (см)), а катеты 18 - 8 = 10 (см) и неизвестный (высота трапеции) - h см. По теореме Пифагора:

h^2 = 26^2 - 10^2 = 676 - 100 = 576;

h = 24 см.

Теперь в другом прямоугольном треугольнике гипотенуза (24 + х) см, один катет (высота) - 24 см, а другой - (24 - х) см.

(24 + х) ^2 = (24 - х) ^2 + 24^2;

96 х = 576;

х = 6.

Значит верхнее основание 8 + 6 = 14 (см), а площадь:

((14 + 42) / 2) * 24 = 672 (кв. см).