X^4-22x^2-75 по теореме Виета

Чтобы степень не отвлекала, обозначим:

х² = m;

Получится:

х⁴ - 22 * х² - 75 = m² - 22 * m - 75.

Воспользуемся теоремой Виета, чтобы определить корни уравнения, приравняв его нулю:

m² - 22 * m - 75 = 0;

Уравнение приведено к виду:

х² + р * х + q = 0;

Следовательно корни уравнения можно найти из соотношения:

х₁ * х₂ = q

х₁ + х₂ = - p

Где p = - 22, q = - 75, а х соответствует m, следовательно:

m₁ * m₂ = - 75;

m₁ + m₂ = 22;

Можно решать систему уравнений, но в данном случае проще действовать подбором. Число - 75 можно разложить на множители:

-75 = - 25 * 3;

-75 = 25 * (-3);

Проверим по второму уравнению какая пара чисел нам подойдет:

m₁ + m₂ = - 25 + 3 = - 22 ≠ 22;

m₁ + m₂ = 25 - 3 = 22;

Следовательно пара чисел 25 и - 3 являются корнями уравнения:

m₁ = х² = 25;

m₂ = х² = - 3;

Если бы исходное выражение было приравнено нулю, можно было бы утверждать, что действительными корнями уравнения являются:

х = 5;

х = - 5,

А также есть один корень среди мнимых чисел: i √‾3.

Однако вернемся к исходному выражению. Зная корни, его можно представить в виде произведения, вспомнив формулу разницы квадратов:

х⁴ - 22 * х² - 75 = (х² - 25) * (х² + 3) = (х - 5) * (х + 5) * (х² + 3).