Найти производную функции F (x) = 1+x^2/1-x^2 И F" (x). С подробным решением

Найдём производную данной функции: y = (1 + x^2) / (1 - x^2).

Воспользовавшись формулами:

(x^n) ' = n * x^ (n-1) (производная основной элементарной функции).

(с) ' = 0, где с - const (производная основной элементарной функции).

(с * u) ' = с * u', где с - const (основное правило дифференцирования).

(u + v) ' = u' + v' (основное правило дифференцирования).

(uv) ' = u'v + uv' (основное правило дифференцирования).

(u / v) ' = (u'v - uv') / v² (основное правило дифференцирования).

И так, найдем поэтапно производную:

1) (1 + x^2) ' = (1) ' + (x^2) ' = 0 + 2 * x^ (2 - 1) = 2x;

2) (1 - x^2) ' = (1) ' - (x^2) ' = 0 - 2 * x^ (2 - 1) = - 2x.

Таким образом, производная нашей функции будет следующая:

y' = ((1 + x^2) / (1 - x^2)) ' = ((1 + x^2) ' * (1 - x^2) - (1 + x^2) * (1 - x^2) ') / (1 - x^2) ^2 = (2x * (1 - x^2) - (1 + x^2) * (-2x)) / (1 - x^2) ^2 = (2x - 2x^3 + 2x + 2x^3) / (1 - x^2) ^2 = 4x / (1 - x^2) ^2.

y'' = (4x / (1 - x^2) ^2) ' = (4x * (1 - x^2) ^ (-2)) ' = (4x) ' * (1 - x^2) ^ (-2) + 4x * ((1 - x^2) ^ (-2)) ' = (4x) ' * (1 - x^2) ^ (-2) + 4x * (1 - x^2) ' * ((1 - x^2) ^ (-2)) ' = (4x) ' * (1 - x^2) ^ (-2) + 4x * ((1) ' - (x^2) ') * ((1 - x^2) ^ (-2)) ' = (4 * 1 * x^ (1 - 1)) * (1 - x^2) ^ (-2) + 4x * (0 - 2 * x^ (2 - 1)) * (-2) * (1 - x^2) ^ (-2 - 1) = (4 * x^0) * (1 - x^2) ^ (-2) + 4x * (0 - 2 * x^1)) * (-2) * (1 - x^2) ^ (-3)) = (4 * 1) * (1 - x^2) ^ (-2) + 4x * (-2x) * (-2) * (1 - x^2) ^ (-3) = (4 / (1 - x^2) ^2) + (8x^2) / (1 - x^2) ^3).

Ответ: y'' = (4 / (1 - x^2) ^2) + (8x^2) / (1 - x^2) ^3).