1. Один из корней квадратного уравнения х² + ах - 20 = 0 равен - 4. Найдите коэффициент а и второй корень данного уравнения. 2. Решите уравнение с параметром х² + (а+1) х+а=0

1) Решим задание при помощи теоремы Виета:

х² + ах - 20 = 0. х₁ = - 4.

Коэффициенты равны а = 1, b = a, c = - 20.

х₁ * х₂ = - с = - 20; - 4 * х₂ = - 20; х₂ = 5.

х₁ + х₂ = - b = - а; - 4 + 5 = - а; 1 = - а; а = - 1.

Ответ: х₂ = 5, а = - 1.

2) х² + (а + 1) х + а = 0.

Выразим дискриминант квадратного уравнения:

D = (a + 1) ² - 4a = a² + 2a + 1 - 4a = a² - 2a + 1.

Уравнение тогда имеет корни, когда дискриминант больше или равен нулю.

D ≥ 0; a² - 2a + 1 ≥ 0.

y = a² - 2a + 1. Это квадратичная парабола, ветви вверх.

у = 0; a² - 2a + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень).

а = 2/2 = 1.

Отмечаем на координатной прямой точку 1, рисуем схематически параболу. Так как она расположена ветвями вверх, то она касается прямой в точке 1 и идет наверх. Знак неравенства ≥, значит, решением неравенства будет промежуток (-∞; + ∞), число 1 входит в промежуток.

Найдем корень уравнения, когда а = 1 (корень будет один).

х² + (1 + 1) х + 1 = 0.

х² + 2 х + 1 = 0.

D = 4 - 4 = 0 (один корень),

х = (-2) / 2 = - 1.

Ответ: при а = 1 уравнение имеет один корень х = - 1, при а (-∞; 1) и (1; + ∞) уравнение имеет два корня.