Найдите точку максимума функции y=√x-x^2

Имеем функцию:

y = (x - x^2) ^ (1/2).

Отметим область определения функции:

x * (1 - x) > = 0;

x * (x - 1) < = 0;

0 < = x < = 1 - область определения функции.

Для нахождения точек максимума функции найдем ее производную:

y' = 1/2 * (x - x^2) ^ (-1/2) * (1 - 2 * x).

Находим критические точки, только последний множитель может быть равен нулю.

1 - 2 * x = 0;

x = 0,5 - критическая точка.

Если 0 < = x < 0,5, то функция возрастает (производная положительна).

Если 0,5 < x < = 1, то функция убывает.

Значит, x = 0,5 - точка максимума функции.