сколькими способами можно составить 17-значное число, в состав которого входят две тройки и три пятерки?

Первый случай - когда число начинается с тройки или с пятёрки:

Тогда выбираем из 16 оставшихся мест любые 4 для троек или пятёрок.

C (16,4) = 16! / (4! · (16 - 4) !) = 1820;

у нас получается 5 мест для троек и пятёрок: C (5,3) = C (5,2) = 5! / (3! · 2!) = 10;

На оставшиеся 17 - 5 = 12 мест поставим любые цифры,

кроме 3 и 5.

Их остётся восемь. Это будет число размещений с повторениями из 8 по 12;

Итак, в этом случае количество способов n1 равно

n1 = 8^12 · C (16,4) · C (5,2) = 8^12 · 1820 · 10 ≈ 1,25 · 10^15;

Во втором случае, когда число начинается не с 0, 3 или 5;

C (16,5) = 16! / (5! · (16 - 5) !) = 4368;

n2 = 7 · 8^11 · C (16,5) · C (5,2) = 7 · 8^11 · 4368 · 10 ≈ 2,63 10^15;

N = n1 + n2 = 1,25 · 10^15 + 2,63 · 10^15 ≈ 3,88· 10^15;

Ответ: N = 8^12 · C (16,4) · C (5,2) + 7 · 8^11 · C (16,5) · C (5,2) ≈ 3,88· 10^15;