Вычислить: а) log 2√2 по основанию 1/2; б) log по основанию 0.1 5+log 2 по основанию 0.1; в) 21 log по основанию 10 3+1/2 log 0.81 по основанию 10

а) log_½ (2√ (2)). Данное выражение обозначим через А. Заметим, что 2√ (2) = 2¹ * 2^½ = 2^{1 + ½} = 2^1½ и ½ = 2^-1. Воспользуемся формулой log_ab = (log_cb) / (log_ca), где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1. В качестве нового основания примем с = 2. Тогда, имеем: А = log_½ (2√ (2)) = (log₂ (2^1½)) / (log₂ (2^-1)). Теперь применим формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число. Итак, А = (1½ * log₂2) / (-1 * log₂2) = 1½ : (-1) = - 1,5.

б) log_0,15 + log_0,12. Данное выражение обозначим через А. Воспользуемся формулой log_a (b * с) = log_ab + log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0. Имеем: А = log_0,15 + log_0,12 = log_0,1 (5 * 2) = log_0,110. Заметим, что 10 = 0,1^-1. Применяя формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число, имеем: А = log_0,10,1^-1 = - 1 * log_0,10,1 = - 1 * 1 = - 1.

в) 21 * log₁₀3 + (1/2) * log₁₀0,81. Данное выражение обозначим через А. Вообще говоря, для логарифма по основанию 10 есть специальное обозначение: вместо log₁₀а можно писать lgа. Используя формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число, имеем: (1/2) * log₁₀0,81 = lg0,81^½. Учитывая 0,81^½ = ((0,9) ²) ^½ = (0,9) ^{2 * ½} = (0,9) ¹ = 0,9 = 9/10 = 3² / 10 и применяя формулу log_a (b / с) = log_ab - log_aс, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, получим: lg0,81^½ = lg (3² / 10) = lg3² - lg10 = 2 * lg3 - 1. Итак, 21 * lg3 + 2 * lg3 - 1 = 23 * lg3 - 1.