Доказать тождество: 1+cosa+cos2a+cos3a/cosa+2cos^2a-1=2cos

Для доказательства тождества: (1 + cosa + cos2a + cos3a) / (cosa + 2cos²a - 1) = 2cosa приведем левую часть к правой.

Используем следующие формулы тригонометрии:

sin²a + cos²a = 1; cos2a = cos²a - sin²a; cos3x = 4cos³x-3cosx.

(1 + cosa + cos2a + cos3a) / (cosa + 2cos²a - 1) =

= (sin²a + cos²a) + cosa + (cos²a - sin²a) + 4cos³a - 3cosx) / (cosa + 2cos²a - (sin²a + cos²a)) =

= (2cos²a - 2cosa + 4cos³a) / (cosa + cos²a - sin²a) =

= 2cosa (cosa - 1 + 2cos²a) / (cosa + cos²a - sin²a) =

= 2cosa (cosa - (sin²a + cos²a) + 2cos²a) / (cosa + cos²a - sin²a) =

= 2cosa (cosa - sin²a + cos²a) / (cosa + cos²a - sin²a).

После сокращения дроби на cosa + cos²a - sin²a получаем: 2cosa.

Что и требовалось доказать.