Из всех прямоугольников данного периметра 2p найдите тот у которого диагональ наименьшая

Периметр прямоугольника равен 2 * (a + b) = 2 * p, откуда b = p - a.

Диагональ прямоугольника вычисляется по формуле, исходя из теоремы Пифагора:

d = √ (a² + b²).

Подставив найденное значение b, получим зависимость диагонали прямоугольника от стороны а:

d = √ (a² + (p - a) ²).

Требуется минимизировать найденную функцию.

Найдём производную и приравняем её к нулю, получим:

d' (a) = (2 * a - p) / √ (a² + (p - a) ²),

d' (a) = 0.

Знаменатель никогда не обращается в нуль, т. к. соответствующее квадратное

уравнение a² + (p - a) ² не имеет корней (дискриминант отрицателен).

Следовательно, 2 * a - p = 0, а = p / 2.

Производная меняет знак с "минуса" на "плюс" в этой точке, поэтому а = р / 2 - точка минимума.

b = p - a = p - p / 2 = p / 2.

Искомый прямоугольник - квадрат со стороной p / 2.