Запись натурального числа состоит только из цифр 3 и 7, а сумма всех его цифр делится на 3 и на 7. Найдите наименьшее такое число (в записи числа встречаются как 3 так и 7).

1. Найдем такую сумму, составленную только из чисел 3 и 7, которая бы делилась и на 3 и на 7. Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное чисел 3 и 7. Оно будет равно 21. Все числа, которые делятся одновременно на 3 и на 7 будут делиться и на 21, следовательно, можем рассматривать только суммы кратные 21: 21, 42, 63, 84 и так далее.

2. 21 не раскладывается в сумму, состоящую из троек и семерок одновременно. Зато 21 раскладывается как 3+3+3+3+3+3+3 или как 7+7+7.

3. Следующая рассматриваемая сумма - 42. Представим ее в следующем виде: 42 = 21 + 21 = (3+3+3+3+3+3+3) + (7+7+7).

4. Подходящее число в записи имеет семь троек и три семерки. Чтобы оно было наименьшим, необходимо расположить тройки в старших разрядах числа, а семерки в младших.

Ответ: 3333333777.

Количество троек и семерок в искомом числе

Необходимо найти наименьшее натуральное число, которое состоит только из цифр 3 и 7, а сумма цифр делится на 3 и на 7.

Предположим, что искомое натуральное число N содержит m цифр 3 и n цифр 7. Тогда для суммы цифр S этого числа получим выражение:

S = 3 * m + 7 * n.

По условию задачи число S делится на 3 и на 5.

Проверим условие делимости числа S на 3 и на 7 поочередно.

Сумма цифр искомого числа делится на 3

Если натуральное число S делится на 3, то его можно представить в виде:

S = 3 * p, где p - натуральное число: p ∈ N.

3 * m + 7 * n = 3 * p; 7 * n = 3 * p - 3 * m; 7 * n = 3 * (p - 3). (1)

Из уравнения (1) следует, что число n делится на 3, т. е. количество семерок в числе N кратно 3.

Сумма цифр искомого числа делится на 7

Если натуральное число S делится на 7, то его можно представить в виде:

S = 7 * q, где q - натуральное число: q ∈ N.

3 * m + 7 * n = 7 * q; 3 * m = 7 * q - 7 * n; 3 * m = 7 * (q - 7). (2)

Из уравнения (2) следует, что число m делится на 7, т. е. количество троек в числе N кратно 7.

Наименьшее искомое число

Поскольку в записи числа обе цифры присутствуют, а количество семерок в числе N кратно 3 и количество троек в числе N кратно 7, то наименьшее число получим в том случае, когда число состоит из 7 троек и 3 семерок. А среди этих чисел наименьшим будет то, в котором тройки записаны в старших разрядах, а пятерки - в младших разрядах, т. е. число: 3 333 333 777.

Ответ: 3 333 333 777.