3 в степени Log в квадрате х по основанию 3 + х в стпепени Log x по основанию 3 <6 ответ (1/3; 3)

В задании дано логарифмическое неравенство 3^log²₃x + x^log₃x 0. Используем следующее свойство степеней: "При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются". Тогда, применяя определение логарифма, имеем: 3^log²₃x = (3^{log₃x * log₃x}) = (3^log₃x) ^log₃x = х^log₃x. С учётом последнего, данное неравенство перепишем в виде: x^log₃x + x^log₃x < 6 или 2 * x^log₃x < 6, откуда x^log₃x 0. Тогда, получим: log₃ (x^log₃x) < log₃3. Применяя формулу log_abⁿ = n * log_ab, где а > 0, a ≠ 1, b > 0, n - любое число, имеем: log₃х * log₃х < 1 или log²₃x < 1. Последнее неравенство перепишем в виде следующего двойного неравенства: - 1 < log₃х < 1. При - 1 < log₃х, получим: - log₃3 < log₃х или log₃ (1/3) < log₃х, откуда 1/3 < х. Оформим это неравенство в виде х ∈ (1/3; + ∞). Аналогично, при log₃х < 1, получим: log₃х < log₃3, откуда х 0, можно оформить в виде: х ∈ (0; 3). Таким образом, решением данного неравенства является пересечение (1/3; + ∞) ∩ (0; 3) = (1/3; 3).

Ответ: х ∈ (1/3; 3).