1) Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения параболы y=x^{2}+4 и прямой x+y=6 2) Периметр прямоугольника равен 28 м, а его площадь равна 40 м (в квадрате). Найдите стороны прямоугольника

Задача №1:

Заданы уравнения параболы и прямой. Соответственно: y = x^{2} + 4 и x + y = 6;

Для того, чтобы найти точки пересечения заданных функций, необходимо приравнять их между собой. Это означает, то при одних и тех же значениях x ординаты параболы и прямой будут равны. Уравнение примет вид x^{2} + 4 = 6 - x, и в итоге получим квадратное уравнение: x^{2} + x - 2 = 0. Вычислим дискриминант данного уравнения: D = 1^{2} - 4 * (-2) = 9. √D = 3. Следовательно корнями данного уравнения будут: x1 = (-1+3) / 2 = 1; x2 = (-1-3) / 2 = - 2; Зная значения x найдем y. Для этого воспользуемся уравнением прямой: y1 = 6 - x1 = 5; y2 = 6 - (-2) = 8. Итак, координатами точек пересечения функций будут: {1; 5} и {-2; 8}.

Задача №2:

Как известно, периметр прямоугольника определяется формулой P = 2 * (a+b); где P - периметр, а и b - соответственно длина сторон прямоугольника. Площадь рассчитывается по формуле S = a * b; Отсюда следует, что 2 (a+b) = 28, a * b = 40. То есть мы получили систему взаимосвязанных уравнений. Для нахождения значения сторон выразим одну величину через другую (b через a). Отсюда следует, что b = 14 - a; Подставим это выражение в формулу для определения площади: a * (14 - a) = 40; Раскроем скобки и получим выражение 14a - a^{2} = 40. Мы имеем квадратное уравнение: a^{2} - 14a + 40 = 0; Решим данное уравнение. Вычислим дискриминант: D = 14 * 14 - 4 * 40 = 36; √D=6. Получим значения a и b: a1 = (14+6) / 2 = 10; a2 = (14-6) / 2 = 4; По сути оба корня уравнения являются значениями сторон прямоугольника. Что также можно проверить, приняв в качестве a одно из значений решения уравнения: пусть a = 10, тогда b = 14 - 10 = 4. Итак, стороны прямоугольника соответственно равны 4 м и 10 м.