Найдите корни уравнения 3*tgx - ctgx = 2 на отрезке [0; п/2]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение 3 * tgx - ctgx = 2. Используя формулу tgα * ctgα = 1, перепишем данное уравнение в виде 3 * tgx - 1 / tgx = 2, которое после несложных преобразований получит вид 3 * tg²x - 2 * tgx - 1 = 0. Введя новую переменную у = tgx, получим квадратное уравнение 3 * у² - 2 * у - 1 = 0. Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = (-2) ² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16 > 0. Так как дискриминант больше нуля, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: у₁ = (2 - √ (16)) / (2 * 3) = (2 - 4) / 6 = - 2/6 = - ⅓ и у₂ = (2 + √ (16)) / (2 * 3) = (2 + 4) / 6 = 6/6 = 1. Рассмотрим каждый корень по отдельности. Пусть у = - ⅓. Тогда, получим простейшее тригонометрическое уравнение tgx = - ⅓, которое имеет следующее решение х = arctg (-⅓) + π * n = - arctg⅓ + π * k, где k ∈ Z, Z - множество целых чисел. Пусть теперь у = 1. Решим, точнее, выпишем решение простейшего тригонометрического уравнения tgx = 1. Как известно, это уравнение имеет следующие две серии решений: х₁ = π/4 + 2 * π * n и х₂ = 5 * π/4 + 2 * π * m, где n, m ∈ Z, Z - множество целых чисел. Теперь найдём те решения из этих трёх серий, которые принадлежат отрезку [0; π/2]. Легко заметить, что только х = π/4 ∈ [0; π/2].

Ответ: х = π/4