Решите уравнение используя введение новой переменной 12/x²+x-10-6/x²+x-6=5/x²+x-11

12 / (x^2 + x - 10) - 6 / (x^2 + x - 6) = 5 / (x^2 + x - 11).

Введем новую переменную, пусть x^2 + x - 10 = а.

12/а - 6 / (а + 4) = 5 / (а - 1).

Приведем дроби к общему знаменателю а (а + 4) (а - 1).

12/а - 6 / (а + 4) - 5 / (а - 1) = 0;

(12 (а + 4) (а - 1) - 6 а (а - 1) - 5 а (а + 4)) / а (а + 4) (а - 1) = 0.

ОДЗ: а (а + 4) (а - 1) не равно нулю, а не равно 0, - 4 и 1.

12 (а + 4) (а - 1) - 6 а (а - 1) - 5 а (а + 4) = 0;

12 (а^2 + 3 а - 4) - 6 а^2 + 6 а - 5 а^2 - 20 а = 0;

12 а^2 + 36 а - 48 - 6 а^2 + 6 а - 5 а^2 - 20 а = 0;

а^2 + 22 а - 48 = 0.

Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

a = 1; b = 22; c = - 48;

D = b^2 - 4ac; D = 22^2 - 4 * 1 * (-48) = 484 + 192 = 576 (√D = 24);

x = (-b ± √D) / 2a;

а₁ = (-22 - 24) / 2 = - 46/2 = - 23;

а₂ = (-22 + 24) / 2 = 2/2 = 1.

Возвращаемся к замене x^2 + x - 10 = а:

1) x^2 + x - 10 = - 23;

x^2 + x - 10 + 23 = 0;

x^2 + x + 13 = 0.

D = 1 - 4 * 13 = 1 - 52 = - 51 (отрицательный дискриминант, корней нет).

2) x^2 + x - 10 = 1;

x^2 + x - 10 - 1 = 0;

x^2 + x - 11 = 0.

D = 1 - 4 * (-11) = 1 + 44 = 45 (√D = √45 = √ (9 * 5) = 3√5).

х₁ = (-1 - 3√5) / 2.

х₂ = (-1 + 3√5) / 2.