Найдите область определения функции y=√3x^2+14x-5

Область определения - это все значения, которые может принимать независимая переменная х. В нашей функции выражение 3x^2 + 14x - 5 стоит под знаком корня, а квадратный корень можно извлекать только из положительного числа и нуля. Поэтому, подкоренное выражение должно быть больше или равным 0.

3x^2 + 14x - 5 ≥ 0 - решим методом интервалов;

3x^2 + 14x - 5 = 0;

D = b^2 - 5ac;

D = 14^2 - 4 * 3 * (-5) = 196 + 60 = 256; √D = 16;

x = (-b ± √D) / (2a);

x1 = (-14 + 16) / (2 * 3) = 2/6 = 1/3;

x2 = (-14 - 16) / 6 = - 30/6 = - 5.

Отметим числа (-5) и 1/3 на числовой прямой. Эти числа делят прямую интервалы: 1) (-∞; - 5], 2) [-5; 1/3], 3) [1/3; + ∞). Выражение 3x^2 + 14x - 5 на 1 и 3 промежутках принимает положительные значения, а на 2 промежутке - отрицательные. Так как это выражение должно быть ≥ 0, то мы выбираем в ответ 1 и 3 промежутки.

Ответ. (-∞; - 5] ∪ [1/3; + ∞).