Разложите на множители 9^n-25^n докажите что число n^3-n делится на 6

Давайте начнем с разложения на множители первого выражения:

9^n - 25^n = 3^ (2n) - 5^ (2n) = (3^n - 5^n) (3^n + 5^n) использовали мы для этого формулу разность квадратов.

Переходим ко второму заданию.

Нужно доказать, что число n^3 - n делится на 6. Начнем с того, что n = 2,

2^3 - 2 = 8 - 2 = 6 утверждение верно.

Теперь докажем это для n = m + 1, полагая при этом, что n = m.

Получаем выражение:

(m + 1) ^2 - (m + 1) = m^3 - m + 3m^2 + 3m.

Делаем вывод, что первые 2 слагаемых делятся на 6 по предположению, вторые делятся на 3, но m (m + 1) число четное, так как четным является либо m либо (m + 1).

Значит выражение делится на 6.