1. Выполнить деление многочленов: (2x^3 + x^2 - 4x + 3) : (2x + 1) 2. Решить уравнение : x^3+2x^2-5x-6=0 3. Решить систему уравнений: первая система: x+y=7, вторая система: 3y-x=7 xy=10 y^2+3x=1 4. Решить задачу с помощью системы: Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. Сумма этой дроби и обратной ей дроби равна 25:12 (это дробь). Найти дробь.

1) (2x³ + x² - 4x + 3) : (2x + 1). Можно записать в виде обычного столбика (как делим обычные числа).

Берем по х², умножаем x² на (2 х + 1), получится (2 х³ + х²), вычитаем из (2x³ + x² - 4x + 3) полученное выражение (2x³ + x²), будет (-4 х + 3).

Берем по (-2), умножаем (-2 х) на (2 х + 1), получится (-4 х - 2). Вычитаем из (-4 х + 3) выражение (-4 х - 2), получится 5.

Ответ: (2x³ + x² - 4x + 3) : (2x + 1) = х² - 2 (ост. 5).

2) x³ + 2x² - 5x - 6 = 0. Найдем корни уравнения. Часто корнями кубического уравнения являются делители свободного члена (числа без х), то есть - 6: 1, - 1, 2, - 2, 3, - 3, 6 или - 6.

Пробуем 1: 1³ + 2 * 1² - 5 * 1 - 6 = 1 + 2 - 5 - 6 = - 8 (не подходит).

Пробуем - 1: (-1) ³ + 2 * (-1) ² - 5 * (-1) - 6 = -1 + 2 + 5 - 6 = 0 (подходит).

Первая скобка будет (х - х₁), то есть (х + 1).

Поделим (x³ + 2x² - 5x - 6) на (х + 1), будет (х² + х - 6).

x³ + 2x² - 5x - 6 = (х + 1) (х² + х - 6) = 0.

Так как корнями квадратного трехчлена (вторая скобка) являются числа - 3 и 2 (по теореме Виета), то раскладываем вторую скобку еще на две:

x³ + 2x² - 5x - 6 = (х + 1) (х + 3) (х - 2) = 0.

Приравниваем каждую скобку к нулю.

Ответ: корни уравнения равны - 3, - 1 и 2.

3) а) x + y = 7; xy = 10.

Выразим у из первого уравнения и подставим во второе.

у = 7 - х.

х (7 - х) = 10.

7 х - х² = 10.

-х² + 7 х - 10 = 0.

х² - 7 х + 10 = 0.

По теореме Виета корни равны 5 и 2.

Найдем значение у:

х₁ = 5; у₁ = 7 - 5 = 2.

х₂ = 2; у₂ = 7 - 2 = 5.

Ответ: (5; 2) и (2; 5).

б) 3y - x = 7; y² + 3x = 1.

Выразим х из первого уравнения и подставим во второе.

х = 3 у - 7.

y² + 3 (3 у - 7) = 1.

y² + 9 у - 21 = 1.

y² + 9 у - 22 = 0.

По теореме Виета корни равны - 11 и 2.

Найдем значение х:

у₁ = - 11; х₁ = 3 * (-11) - 7 = - 33 - 7 = - 40.

у₂ = 2; х₂ = 3 * 2 - 7 = 6 - 7 = - 1.

Ответ: (-11; - 40) и (2; - 1).

4) Пусть а/b - данная дробь. По условию составляем систему:

а² + b² = 25.

a/b + b/a = 25/12.

Приведем к общему знаменателю второе уравнение:

(а² + b²) / ab = 25/12.

Так как а² + b² = 25, то 25/ab = 25/12, ab = 12.

Получилась система а² + b² = 25; ab = 12.

Выразим из второго уравнения b и подставим в первое.

b = 12/а.

а² + (12/а) ² = 25.

а² + 144/а² = 25.

а⁴ + 144 - 25 а² = 0.

а⁴ - 25 а² + 144 = 0.

Пусть а² = х.

х² - 25 х + 144 = 0.

По теореме Виета корни равны 9 и 16.

Значит, а² = 9; а = 3 и а = - 3.

Или а² = 16, а = 4 и а = - 4.

Находим значение b:

b = 12/3; b = 4. Дробь равна 3/4.

b = 12/-3; b = - 4. Дробь равна (-3) / (-4) = 3/4.

b = 12/4; b = 3. Дробь равна 4/3.

b = 12 / (-4); b = - 3. Дробь равна (-4) / (-3) = 4/3.

Ответ: дробь равна 3/4 или 4/3.