Сумма квадратов числителя и знаменателя некоторой дроби равна 25. сумма этой и обратной ей дроби равна 25/12. найти исходную дробь

Допустим, наша дробь имеет вид х/у. Тогда, по условию задачи:

1) х² + у² = 25,

2) х/у + у/х = 25/12,

(х² + у²) / ху = 25/12, следовательно ху = 12, а значит у = 12/х.

Подставим это значение у в первое выражение:

х² + (12/х) ² = 25,

х⁴ + 144 = 25 х²,

х⁴ - 25 х² + 144 = 0.

Решим это биквадратное уравнение:

D = (-25) ² - 4 * 1 * 144 = 625 - 576 = 49, значит √D = 7.

х² = (25 - 7) / 2 = 9 или х² = (25 + 7) / 2 = 16,

следовательно х = 4 или х = 3.

Если х = 4, то у = 12 / 4 = 3.

Если х = 3, то у = 12 / 3 = 4.

Ответ: 4/3 и 3/4.