Можно ли разбить числа 1,2,3, ... 13 на три группы так, чтобы ни в какой из групп не нашлось таких трёх чисел, что сумма двух из них равна третьему?

Сначала перепишем все числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.

Составим одну группу чисел

В это группе ни одно число не может быть результатом суммы двух других чисел.

1) Берем число 1, к нему можно смело добавить 2.

Число 3 брать нельзя, так как сумма 1 и 2 равна трем, тогда берем число 4. Число 5 нельзя взять, так как 1 + 4 = 5, число 6 также нельзя, 2 + 4 = 6. Тогда берем число 7.

Пробуем взять числа 8 и 9:

Число 8 не подходит, так как 1 + 7 = 8; число 9 нельзя взять, потому что 2 + 7 = 9;

пробуем взять число 10, оно подходит, берем 10.

Остались числа 11, 12 и 13. Число 11 не подходит, потому что 4 + 7 = 11, число 12 также нельзя взять, так как 10 + 2 = 12. Число 13 подходит.

Числа первой группы: 1, 2, 4, 7, 10 и 13.

Выпишем оставшиеся числа

2) 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12.

Берем число 3, к нему можно взять 5, число 6 тоже подходит.

Число 8 не подходит, так как 3 + 5 = 8. Число 9 тоже не подходит, 3 + 6 = 9.

Число 11 также не подходит, потому что 5 + 6 = 11.

А вот число 12 подходит.

Вторая группа чисел: 3, 5, 6, 12.

3) Выписываем оставшиеся числа: 8, 9, 11, это и будет третьей группой.

Третья группа чисел: 8, 9, 11.

Ответ: Первая группа - 1, 2, 4, 7, 10 и 13; вторая группа - 3, 5, 6, 12; третья группа - 8, 9, 11.