Если y1 и y2 корни уравнения y^2-by+b-1=0 то при каком b, значение (y1) ^2 + (y2) ^2 будет наименьшим?

Воспользуемся формулой для полного квадрата и преобразуем выражение, которое надо минимизировать:

(y1) ^2 + (y2) ^2 = (y1 + y2) ^2 - 2 * y1 * y2;

Согласно теореме Виета для квадратного уравнения:

y^2 - b * y + b - 1 = 0;

сумма корней y1 и y2 равна:

y1 + y2 = b;

а произведение равно:

y1 * y2 = b - 1;

Подставляя в полученное выше выражение, получаем, что надо минимизировать:

(y1 + y2) ^2 - 2 * y1 * y2 = b^2 - 2 * (b - 1) = (b - 1) ^2 + 1;

Минимальное для (b - 1) ^2 значение 0, и получаем ответ: b = 1.