Найдите количество корней уравнения sin^3x - sin^2xcosx + 3cos^3x = 3sinxcos^2x на промежутке [0; П]

1. Переносим все в левую часть уравнения и выносим общие множители за скобки:

sin^3x - sin^2x * cosx + 3cos^3x = 3sinx * cos^2x; sin^3x - sin^2x * cosx + 3cos^3x - 3sinx * cos^2x = 0; sin^2x (sinx - cosx) - 3cos^2x (sinx - cosx) = 0; (sinx - cosx) (sin^2x - 3cos^2x) = 0.

2. Приравниваем множители к нулю:

[sinx - cosx = 0;

[sin^2x - 3cos^2x = 0; [sinx = cosx;

[sin^2x = 3cos^2x; [tgx = 1;

[tg^2x = 3; [tgx = 1;

[tgx = ±√3; [x = π/4 + πk, k ∈ Z;

[x = ±π/3 + πk, k ∈ Z.

Ответ: π/4 + πk; π/3 + πk, k ∈ Z.