Один из углов разностороннего треугольника 60 градусов, и длина противоположной стороны равна 7 см. Разница длины остальных сторон равна 3 см. Найти длину сторон и площадь треугольника.

Обозначим через а меньшую из неизвестных сторон данного треугольника.

Согласно условию задачи, разница длин неизвестных сторон равна 3 см, следовательно, длина второй стороны должна быть равной а + 3 см и применяя теорему косинусов, можем составить следующее уравнение:

а^2 + (а + 3) ^2 - 2 а * (а + 3) * cos (60°) = 7^2,

решая которое, получаем:

а^2 + а^2 + 6a + 9 - 2 а * (а + 3) * 1/2 = 49;

а^2 + а^2 + 6a + 9 - а^2 - 3a = 49;

а^2 + 3a + 9 = 49;

а^2 + 3a + 9 - 49 = 0;

а^2 + 3a - 40 = 0;

а = (-3 ± √ (9 + 4 * 40)) / 2 = (-3 ± √169) / 2 = (-3 ± 13) / 2;

а1 = (-3 + 13) / 2 = 10/2 = 5;

а2 = (-3 - 13) / 2 = - 16/2 = - 8.

Так как длина стороны треугольника не может быть отрицательной, то значение а = - 8 не подходит.

Находим длину второй стороны:

а + 3 = 5 + 3 = 8 см.

Находим площадь треугольника:

5 * 8 * sin (60°) / 2 = 5 * 4 * sin (60°) = 5 * 4 * √3/2 = 10√3 см^2.

Ответ: длины сторон треугольника равны 8 см и 5 см, площадь треугольника равна 10√3 см^2.