число 7^2 п+1 + 4^2 п+1 делится на 11

Докажем утверждение с помощью сравнений.

1. Составим сравнения по модулю 11 для степеней 7:

7^1 ≡ 7 (mod 11); 7^2 ≡ 49 (mod 11); 7^2 ≡ 4 * 11 + 5 (mod 11); 7^2 ≡ 5 (mod 11); 7^ (2n) ≡ 5^n (mod 11); 7^ (2n + 1) ≡ 7 * 5^n (mod 11). (1)

2. Составим сравнения по модулю 11 для степеней 4:

4^1 ≡ 4 (mod 11); 4^2 ≡ 16 (mod 11); 4^2 ≡ 11 + 5 (mod 11); 4^2 ≡ 5 (mod 11); 4^ (2n + 1) ≡ 4 * 5^n (mod 11). (2)

3. Сложим сравнения (1) и (2):

7^ (2n + 1) + 4^ (2n + 1) ≡ 7 * 5^n + 4 * 5^n (mod 11); 7^ (2n + 1) + 4^ (2n + 1) ≡ 5^n * (7 + 4) (mod 11); 7^ (2n + 1) + 4^ (2n + 1) ≡ 11 * 5^n (mod 11); 7^ (2n + 1) + 4^ (2n + 1) ≡ 0 (mod 11). (3)

Сравнение (3) означает, что левая часть делится без остатков на 11, что и требовалось доказать.