Точка А находится внутри круга радиусом 6 и и делит проходящую через нее хорду на отрезки длиной 5 и 4. Найти расстояние от точки А до центра окружности.

Дана окружность с центром в точке О и радиусом 6. Точка А делит хорду BC на отрезки BA = 5 и CA = 4.

1. Из точки О проведем отрезки к точкам В и С: OB = ОС = 6, значит △BOC - равнобедренный треугольник с боковыми сторонами OB и ОС и основанием BC.

Длина BC:

BC = BA + CA;

BC = 5 + 4 = 9.

2. Из вершины О проведем к основанию BC высоту ОН. Так как △BOC - равнобедренный, то ОН является и высотой, и медианой, тогда BH = CH = BC/2 = 9/2 = 4,5.

Рассмотрим △BHO: ∠BHO = 90°, BH = 4,5 и ОН - катеты, OB = 6 - гипотенуза.

По теореме Пифагора найдем длину ОН:

ОН = √ (OB² - BH²) = √ (6² - 4,5²) = √ (36 - 20,25) = √15,75.

3. Точка H делит BA на два отрезка:

BA = BH + АН;

4,5 + АН = 5;

АН = 5 - 4,5;

АН = 0,5.

4. Из точки О проведем отрезок OA. Рассмотрим треугольник ОНА: ∠ОНА = 90° (так как ОН - высота), ОН = √15,75 и АН = 0,5 - катеты, OA - гипотенуза (так как лежит напротив прямого угла).

По теореме Пифагора:

OA = √ (OH² + АH²) = √ ((√15,75) ² + (0,5) ²) = √ (15,75 + 0,25) = √16 = 4 - расстояние от центра окружности до точки А.

Ответ: OA = 4.