Последовательность задана формулой An=n (2n+1) докажите что сумма первых n членов этой последовательности может быть вычислена по формуле Sn = (n (n+1) (4n+5)) / 6

Рассмотрим последовательность {а_n}, общий член которого вычисляется по формуле а_n = n * (2 * n + 1), где n - натуральное число. По требованию задания, докажем, что сумма S_n первых n членов данной последовательности может быть вычислена по формуле S_n = (n * (n + 1) * (4 * n + 5)) / 6. Для доказательства применим метод математической индукции. Сначала докажем, что при n = 1 справедлива приведённая формула. Ясно, что при n = 1 сумма S₁ состоит из одного слагаемого а₁, то есть, S₁ = а₁. Вычислим а₁ = 1 * (2 * 1 + 1) = 1 * 3 = 3 и S₁ = (1 * (1 + 1) * (4 * 1 + 5)) / 6 = (1 * 2 * 9) / 6 = 18/6 = 3. Действительно, S₁ = 3 = а₁. Теперь допустим, что приведённая формула верна для n = k, то есть, S_k = (k * (k + 1) * (4 * k + 5)) / 6. Докажем формулу при n = k + 1. Имеем: S_{k + 1} = S_k + а_{k + 1} = (k * (k + 1) * (4 * k + 5)) / 6 + (k + 1) * (2 * (k + 1) + 1) = (k * (k + 1) * (4 * k + 5) + 6 * (k + 1) * (2 * k + 3)) / 6 = ((k + 1) * (k * (4 * k + 5) + 6 * (2 * k + 3)) / 6 = ((k + 1) * (4 * k² + 5 * k + 12 * k + 18)) / 6 = ((k + 1) * (4 * k² + 8 * k + 9 * k + 18)) / 6 = ((k + 1) * (4 * k * (k + 2) + 9 * (k + 2))) / 6 = ((k + 1) * (k + 1 + 1) * (4 * (k + 1) + 5)) / 6. Итак, S_{k + 1} = ((k + 1) * (k + 1 + 1) * (4 * (k + 1) + 5)) / 6. Что и требовалось доказать.