Найти произведение корней уравнения 3 х^4+14 х^2 (х-3) - 5 (х-3) ^2=0

1. Разделим на (х - 3)) ^2:

3 х^4 + 14 х^2 (х - 3) - 5 (х - 3) ^2 = 0; 3 х^4 / (х - 3) ^2 + 14 х^2 / (х - 3) - 5 = 0; 3 (х^2 / (х - 3)) ^2 + 14 х^2 / (х - 3) - 5 = 0. (1)

2. Обозначим выражение:

х^2 / (х - 3) = u; х^2 = u (х - 3); х^2 - uх + 3u = 0; (2) D = u^2 - 12u = u (u - 12) ≥ 0.

Имеет корни на промежутках:

u ∈ (-∞; 0] ∪ [12; ∞).

3. Подставим в уравнение (1):

3u^2 + 14u - 5 = 0; D/4 = 7^2 + 3 * 5 = 49 + 15 = 64 = 8^2; u = (-7 ± 8) / 3; 1) u1 = (-7 - 8) / 3 = - 5 ∈ (-∞; 0] ∪ [12; ∞); 2) u2 = (-7 + 8) / 3 = 1/3 ∉ (-∞; 0] ∪ [12; ∞).

4. Подходит только первое значение u, поэтому для произведения корней уравнения (2) получим:

x1 * x2 = 3u1 = 3 * (-5) = - 15.

Ответ: - 15.