При каких натуральных значениях n число n^5-n делится на 120

1. Разложим на простые множители число 120:

120 = 8 * 15 = 2^3 * 3 * 5.

2. Разложим на множители данное выражение:

f (n) = n^5 - n; f (n) = n (n^4 - 1); f (n) = n (n^2 - 1) (n^2 + 1); f (n) = n (n - 1) (n + 1) (n^2 + 1); f (n) = (n - 1) * n * (n + 1) * (n^2 + 1).

3. При любом n одно из трех последовательных чисел делится на 3. А f (n) = n (n^4 - 1) делится на 5 по малой теоремы Ферма.

4. При нечетных значениях n произведение двух последовательных четных чисел n - 1 и n + 1 делится на 8. А при четных n f (n) кратно 8, если n делится на 8.

5. В итоге получим, что f (n) кратно 120, если n делится на 8 или нечетное число.

Ответ: n = 8k или n = 2k + 1.